Напомним сведения об уравнении прямой на плоскости. Любое уравнение первой степени относительно неизвестных х и у является уравнением прямой на плоскости: АX + ВY + С = 0

а) уравнение с угловым коэффициентом у= kx+b , где k - угловой коэффициент, численно равный тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси О_х , а свободный член b - ордината точки пересечения графика и О_у.

Рассмотрим на плоскости О_ху произвольную прямую L. Пусть дана некоторая ее точка М₁(х₁у₁) и вектор N=Ai+Bj, перпендикулярный рассматриваемой прямой. Этот вектор называется нормальным вектором прямой. Точка М₁ и нормальный вектор N вполне определяют положение прямой L на плоскости О_ху.

Пусть М(х,у) - любая точка прямой L (она называется текущей точкой). По условию, вектор N перпендикулярен вектору , лежащему на этой прямой. Поэтому скалярное произведение (N, )=0 , или в координатной форме А(х – х₁) + В(у – у₁) = 0

АX + ВY + [-АX₁ – ВY₁ ] = 0

В квадратных скобках у нас некое число. так как А и В числовые коэффициенты, а х₁ и у₁ - координаты точки и, если это число обозначим С, то получится общее уравнение прямой на плоскости.

АX + ВY + С = 0

Далее, положение прямой L на плоскости вполне определяется заданием какой-либо ее точки М(х₁,у₁) и вектора S=mi+nj , параллельного L или лежащего на ней. Этот вектор называется направляющим вектором прямой L.

Пусть М(х,у) - произвольная точка прямой L. Так как векторы

коллинеарны (по условию), то их координаты пропорциональны.

Рассмотрим снова прямую L. Ее положение вполне определяется заданием угла a (O_x, L) и точки М(х ,у ), лежащей на этой прямой.

В качестве направляющего вектора возьмем единичный вектор

Его длина

получим у-у₁ = k(х – х₁) – это прежнее уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Пусть на плоскости даны М₁(х₁у₁) и М₂(х₂у₂). Составим каноническое уравнение прямой, проходящей через эти две точки в качестве направляющего вектора S возьмем M₁M₂

- это уравнение прямой, проходящей через две данные точки (х₁ у₁) и (х₂, у₂)

  

 

Аналитическая геометрия в 3-мерном пространстве

• Аналогично двумерному случаю любое уравнение первой степени относительно трех переменных x, y, z есть уравнение плоскости в пространстве О_xyz..Общее уравнение плоскости АX + ВY + СZ + D = 0, где вектор N=(A,B,C) есть нормаль к плоскости. Каноническое уравнение плоскости, проходящей через точку М(х₀,у₀,z₀) и имеющей нормаль N(А,В,С) А(х – х₀) + В(у – у₀) + С(z – z₀)=0 – что представляет собой это уравнение?

Значения х –х₀, у-у₀ и z –z₀ — это разности координат текущей точки и фиксированной точки. Следовательно, вектор а (х-х₀, у-у₀, z-z₀) -это вектор, лежащий в описываемой плоскости, а вектор N — вектор, перпендикулярный к плоскости, а значит, они перпендикулярны между собой.

В координатной форме (N,a)=0 выглядит так:

А·(х-х₀)+В·(у-у₀)+С·(z-z₀)=0

• Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки А₁(х₁у₁z₁), А₂(х₂у₂z₂), А₃(х₃у₃z₃)

Что представляет собой это уравнение? У нас на плоскости имеются три точки А₁, А₂, А_3. Рассмотрим текущую точку плоскости. Ее координаты – переменные А (х, у,z). Все эти четыре точки лежат в одной плоскости, следовательно, и связывающие их вектора лежат в той же самой плоскости. Если три вектора лежат в одной плоскости, они компланарны., а, если вектора компланарны, то объем призмы, построенной на них равен 0. Именно эту формулу смешанного произведения векторов и представляет собой левая часть нашего уравнения плоскости, проходящей через три известные точки А₁, А₂, А_3.

• Условие параллельности двух плоскостей А₁х + В₁у + С₁z + Д₁ = 0 А₂х + В₂у + С₂z + Д₂ = 0

• Канонические уравнения прямой, проходящей через точку М₀ (х₀у₀z₀) и имеющей направляющий вектор

На прямой известна фиксированная точка Н₀ (х₀, у₀, z₀). Рассмотрим на этой прямой еще текущую точку М (х, у, z). Вектор есть направляющий вектор нашей прямой, то есть он коллинеарен любому вектору, лежащему на ней, в том числе и вектору .

То есть, вектора и коллинеарны, а коллинеарность векторов означает пропорциональность координат и является уравнением прямой.

Рассмотрим пример: Даны вершины пирамиды А₁(1,2,3) А₂(3,5,4) А₃(1,5,2) А₄(3,4,8)

1) Длину ребра А₁А₂. Длина ребра есть длина вектора A₁A₂ =(3-1, 5-2, 4-3) = (2,3,1)

2) Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄. Угол между ребрами есть угол между векторами A₁A₂ и А₁А₄

А₁А₂=(2,3,1) А₁А₄=(2,2,5)

3) Угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃.

Поскольку угол между прямой и плоскостью есть угол между прямой и ее проекцией на плоскость, мы можем рассмотреть угол, дополняющий a до p /2 . Это угол между нормалью к плоскости и А₁А₄. В качестве нормали возьмем векторное произведение A₁A₂ (2,3,1) и A₁A₃(0,3,-1)

4) Площадь грани А₁А₂А₃. S_А1А2А3 есть площадь треугольника А₁А₂А₃ и половина площади параллелограмма, построенного на А₁А₂ и А₁А₃ , которая равна длине вектора N, вычисленного выше.

Найдем объем пирамиды А₁ А₂ А₃ А_4.

6) Уравнения прямой А₁А₂: Направляющий вектор - А₁А₂ , точка, через которую проходит прямая – А₁.

7) Уравнение плоскости А₁А₂А₃: опорные точки – А₁,А₂,А₃

разложим по элементам 1-го столбца:

8) Известно, что наша прямая проходит через точку А₄ (3,4.8). Используем уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении (с заданным направляющим вектором).

Окружность - это геометрическое место точек, равноудаленных от одной фиксированной точки (центра). Расстояние от точек окружности до центра называется радиусом окружности.

Каноническое уравнение окружности (х – х₀)² + (у – у₀)² = R².

Например, построим линию, заданную уравнением х² - х + у² - у = 0. Приведем к стандартному виду. Для этого выделим полный квадрат разности для х и для у.

Приведя уравнение кривой второго порядка к каноническому виду видим, что наша кривая есть окружность с центром в точке

Эллипс - геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух фиксированных точек (фокусов эллипса) есть величина постоянная.

Если фокусы (F₁ и F₂) расположены на прямой ¦ О_х, то каноническое уравнение эллипса имеет вид

Здесь точка А(х₀,у₀) - центр эллипса. а и b - большая и малая полуоси эллипса. Фокусы эллипса F₁ и F₂ расположены в точках, удаленных на от центра эллипса в направлении О_х и противоположном. Отношение с/a называется эксцентриситетом эллипса и обозначается e .

Например, построим линию х² + 2у² + 2х – 12у – 33 = 0. Приведем уравнение к каноническому виду.

х² + 2*х*1 + 1 - 1 + 2у² - 12у - 17 = 0 (х + 1)² - 1 + 2(у² - 6у) - 17 = 0

(х + 1)² - 1 + 2(у² - 2*3*у + 3² – 3²) - 17 = 0 (х + 1)² - 1 + 2(у² - 2*у*3 + 3²) - 18 - 17 = 0

(х + 1)² + 2(у - 3)² - 36 = 0 (х + 1)² + 2(у - 3)² = 36

Вот, наконец, и каноническое уравнение. Из его вида следует, что наша линия есть эллипс с центром в точке А(-1,3), с большой полуосью а=6, малой полуосью .

Стало быть точка В имеет координаты х = -1 - 6 = -7, у=0, а точка С: х = -1 + 6 = 5, у=0.

Фокусы F₁: х = -1 - 4,24 = -5,24 у=3

F₂ : х = -1 + 4,24 = 3,24 у=3

Гипербола - геометрическое место точек. разность расстояний которых до двух фиксированных точек (фокусов гиперболы) есть величина постоянная. Эта фигура также обладает двумя осями симметрии и центром. Если фокусы F₁ и F₂ расположены на прямой, параллельной О_х , то ее каноническое уравнение имеет вид.

Если точка А(х₀у₀) - центр гиперболы, а и в — действительная и мнимая полуось.

Для гиперболы

Прямые являются асимптотами гиперболы.

На правой ветви гиперболы х²/16 - y²/9 = 1 найти точку, расстояние которой от правого фокуса в два раза меньше её расстояния от левого фокуса.

Решение: Для правой ветви гиперболы фокальные радиусы - векторы определяются по формулам r₁ = ex- а и r₂ = ex + а. Следовательно, имеем уравнение ех + а = 2(ех - а), откуда х = 3а/e; здесь а = 4, е = с/a =, т.е. х = 9,6

Таким образом, условию задачи удовлетворяют две точки: М₁(9,6;0,6) и М₂(9,6;-0,6).

Эксцентриситет гиперболы равен . Составить простейшее уравнение гиперболы, проходящей через точку М().

Решение: Согласно определению эксцентриситета, имеем c/a = , или с² = 2а². Но с² = а² + b²; следовательно а² + b² = 2а², или а² = b², т.е. гипербола равнобочная.

Другое равенство получим из условия нахождения точки М на гиперболе, т.е. ()²/a² - ()²/b² = 1, или 3/a² - 2/b² = 1. Поскольку а² = b², получим 3/a² - 2/а² = 1, т.е. a² = 1.

Таким образом, уравнение искомой гиперболы имеет вид х² - у² = 1.

Парабола - геометрическое место точек, равноудаленных от фиксированной точки (фокуса параболы) и фиксированной прямой (директрисы параболы). Эта фигура обладает одной осью симметрии. Если директриса параболы перпендикулярна оси О_х, то уравнение кривой имеет вид (у – у₀)² = 2р(х – х₀),где р - расстояние от фокуса до директрисы. Уравнение директрисы x=x₀-p/2

Начертим параболу у² = 8х.
Сравнивая данное уравнение с уравнением параболы видим, что 2р=8, р=4, х₀ =0, у₀ =0.

Уравнение директрисы будет x=-p/2, то есть х=-2. Координаты фокуса F(x₀+p/2,y₀) то есть , F(2,0).