главная

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Матричная запись и матричное решение системы уравнений первой степени

Рассмотрим систему уравнений

- матрица системы

- матрицы-столбцы неизвестных и свободных членов.

Очевидно, что ,

тогда АХ=С

Такое равенство называется матричным уравнением.

Если матрица А системы невырожденная, (det А 0), то это уравнение решается следующим образом:

Умножим обе его части на матрицу А^-1, обратную матрице А

А^-1(АХ)=А^-1С или,

(А^-1А) · Х = А^-1·С. но так как А^-1А=Е, и ЕХ=Х Х=А^-1С

Например, решим матричным способом систему

матрица системы

Не является ли матрица А вырожденной? Найдем ее определитель:

| А| =1·[-1·4 – 1·2] – 1·[2·4 – 2·4] + 2·[2·1 – 4·(-1)] = -6 + 12 = 6

Определитель не равен нулю, то есть матрица не вырожденная. Значит, существует обратная матрица

А₁₁ = (-1)^1+1·М₁₁ = (+1)·[-1·4 – 1·2] = -6

А₁₂ = (-1)^1+2·М₁₂ = (-1)·[2·4 – 2·4] = 0

А₁₃ = (-1)^1+3·М₁₃ = (+1)·[2·1 – 4·(-1)] = 6

А₂₁ = (-1)^2+1·М₂₁ = (-1)·[1·4 – 1·2] = -2

А₂₂ = (-1)^2+2·М₂₂ = [1·4 – 2·4] = -4

А₂₃ = (-1)^2+3·М₂₃ = (-1)·[1·1 – 4·1] = 3

А₃₁ = (-1)³⁺¹М₃₁ = [1·2 – (-1)·2] = 4

А₃₂ = (-1)^3+2·М₃₂ = [(-1)·1·2 – 2·2] = 2

А₃₃ = (-1)^3+3·М₃₃ = [1·(-1) – 2·1] = -3

Можно убедиться проверкой в правильности решения: подставим вектор Х в первоначальное матричное уравнение.

Действительно вектор Х удовлетворяет заданной системе

Решение систем уравнений методом Крамера

Применим теперь наши знания о матрицах к решению систем уравнений первой степени. Рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными:

или коротко или АХ=С

система записана в матричном виде (как произведение матриц)

Решим эту простенькую систему школьными методами.

Умножим первое уравнение на а₂₂, а второе на (-а₁₂) и сложим

(а₁₁а₂₂ – а₂₁а₁₂)х_{1 =}с₁а₂₂ – с₂а₁₂

аналогично

(а₁₁а₂₂ – а₂₁а₁₂)х₂ = с₂а₁₁ – с₁а₂₁

1) но а₁₁а₂₂ – а₂₁а₁₂ = - это определитель матрицы А(det А) или его еще называют определитель системы и он составлен из коэффициентов при неизвестных. Обозначим его D

определитель, который получится из det А, если в нем столбец коэффициентов при х₁ (первый столбец) заменить на столбец правых частей. Обозначим его D _Х1

определитель, который получится, если в det А столбец
коэффициентов при х₂ заменить на столбец правых частей. Обозначим его D x₂

Видим, что

Как вы понимаете, если мы возьмем систему трех уравнений с тремя неизвестными или n уравнений с n неизвестными, то формулы останутся те же:

Эти формулы широко известны и называются формулами Крамера. Мы же с Вами займемся анализом того существует ли решение и единственно ли оно?

Возможны 3 случая:

1. D 0 Тогда x_i=D x_i/D - решение существует, причем единственное.

2. D =0 , а какой-либо из D x_i 0 , то есть у нас в x_i=D x_i/D производится деление на 0, система не имеет решения (несовместна).

3. D =0 и все D x_i=0 то система имеет бесконечно много решений.

Пример:

Так как второе уравнение получается из первого умножением на 2, то наша система равносильна такой системе.

Так получилось, потому что первое и второе уравнения систем эквивалентны и фактически мы имеем систему двух уравнений с тремя неизвестными, то есть неопределенную систему. Она имеет бесчисленное множество решений. Положив, например, z=0

получим систему

Решив ее, найдем 11х=0, х=0, y=1

То есть решение первоначальной системы x=0, y=0, z=0.

Если бы мы положили z=1, получили бы еще один ответ и так далее.